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Cours de mathématiques à  l'usage des candidats à  l'Ecole Centrale des Arts et manufactures, et de tous les élèves qui se destinent aux écoles du gouvernement. Tome 2.

Charles de Comberousse, 1861, 639 pages
[124]

Table des matières

PREMIERE PAGE NUMERISEE - Ex Libris de Jean Mathey, professeur de Mathématiques (Premières années, époque Fortier)
[TABLE DES MATIàˆRES]
GÉOMÉTRIE.
GÉOMÉTRIE PLANE.
LIVRE PREMIER. LES LIGNES.
CHAPITRE PREMIER. — La Ligne droite.
Notions préliminaires
But de la Géométrie
I. Mesure et rapport des lignes droites
II. Des angles
III.Des triangles ; cas d'égalité, propriétés générales
IV. Des perpendiculaires et des obliques ; cas d'égalité des triangles rectangles, bissectrice d'un angle
V. Des parallèles -propriétés générales, somme des angles d'un triangle
VI. Des polygones et en particulier des quadrilatères.
CHAPITRE II. — La Circonférence de Cercle.
I. Des arcs et des cordes
II. Perpendiculaires et parallèles dans le cercle, tangente, plus courte ou plus grande distance d'un point à  la circonférence
III. Positions mutuelles de deux circonférences
IV. Mesure des angles, théorème fondamental, généralisation dans le cas des rapports incommensurables, angles inscrits, angles dont le sommet n'est pas sur la circonférence, propriété du quadrilatère inscrit
V. Problèmes graphiques sur la ligne droite et la circonférence de cercle, construction des angles, des triangles, des perpendiculaires et des parallèles,tangente à  la circonférence par un point extérieur, tangente commune à  deux circonférences, quadrilatère circonscrit, segment capable
CHAPITRE III. — Les Lignes proportionnelles.
I. Des lignes proportionnelles dans le triangle, propriété des bissectrices des angles intérieurs ou extérieurs d'un triangle
II. De la similitude, triangles et polygones semblables, centres de similitude
III. Relations métriques entre les différentes parties d'un triangle, propriété fondamentale du triangle rectangle ; carré du côté opposé à  un angle aigu ou obtus ; somme des carrés de deux côtés d'un triangle,lieu géométrique correspondant ; somme des carrés des côtés d'un quadrilatère; différence des carrés de deux côtés d'un triangle, lieu géométrique correspondant ; relation entre les côtés d'un triangle et la bissectrice de l'un de ses angles ; relation entre les côtés d'un triangle et le diamètre du cercle circonscrit
IV. Des lignes proportionnelles dans le cercle, droites anti-parallèles
V. Problèmes sur les lignes proportionnelles, division d'une droite en moyenne et extrême raison,construction d'une figure semblable à  une figure donnée, construction d'une échelle
CHAPITRE IV. — Mesure de la Circonférence de Cercle.
I. Des polygones réguliers, propriétés générales
II. Problèmes, suites, polygones réguliers, inscription du carré, de l'hexagone régulier et du triangle équilatéral ; triangle équilatéral circonscrit ; inscription du décagone et du pentagone réguliers; étant donnés le rayon d'un cercle et le côté d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle, calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre double de côtés
III. — Mesure de la circonférence, principes de la théorie des limites; le rapport d'une circonférence à  son diamètre est un nombre constant; longueur d'un arc de n degrés, arcs semblables
Calcul de pi. — Expressions diverses de ce rapport
Questions proposées
LIVRE DEUXIàˆME. LES SURFACES.
CHAPITRE PREMIER. — Mesure des Aires.
Mesure du rectangle, du parallélogramme; expressions diverses de la mesure du triangle ; mesures du trapèze ; aire d'un polygone quelconque, sa transformation en un triangle équivalent; quadrature des figures planes ; aire d'un polygone régulier,d'un cercle,d'un secteur circulaire, d'un segment
Remarque relative au chapitre III du livre premier, carré de l'hypoténuse
CHAPITRE II. — Rapports des Aires semblables.
Triangles et polygones semblables, échelle de réduction ; polygones réguliers semblables; rapport de deux cercles quelconques,secteurs et segments semblables
Problèmes relatifs aux aires semblables
Questions proposées
GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
LIVRE TROISIàˆME. LES PLANS.
CHAPITRE PREMIER. - Propriétés des Plans
I. Notions préliminaires, détermination d'un plan, intersection de deux plans
II. Des droites et des plans perpendiculaires,construction d'une droite perpendiculaire à  un plan,d'un plan perpendiculaire à  une droite; perpendiculaire et obliques menées d'un même point à  un plan; lieu géométrique des points de l'espace à  égale distance des extrémités d'une droite; théorème des trois perpendiculaires
III. Des droites et des plans parallèles. — Droites parallèles dans l'espace, droites et plans parallèles, plans parallèles
IV. Des angles dièdres, mesure et propriétés
V. Des plans perpendiculaires; plus courte distance de deux droites non situées dans un même plan ; angle d'une droite et d'un plan
CHAPITRE II. — Des Angles polyèdres et en particulier des angles trièdres.
Propriétés générales des angles polyèdres ; angles trièdres supplémentaires; cas d'égalité des angles trièdres; angles trièdres symétriques, cas où l'angle trièdre proposé est isocèle ; autres propriétés des angles trièdres
Questions proposées
LIVRE QUATRIàˆME. les surfaces et les volumes des corps.
CHAPITRE PREMIER. — Les Prismes et les Cylindres.
Définitions relatives aux polyèdres, polyèdres réguliers,prismes
I. Théorèmes généraux sur les prismes,cas d'égalité; faces opposées d'un parallélipipède,relation entre ses diagonales et ses arêtes
II. Surface et volume du prisme, mesure du parallélipipède rectangle ; transformation d'un prisme oblique en prisme droit équivalent ; mesure du parallélipipède quelconque,du prisme triangulaire,du prisme à  base quelconque
III. Surface et volume du cylindre, cylindres circulaires droits semblables
CHAPITRE II. — Les Pyruiides et les Cônes.
Définitions relatives aux pyramides
I. Théorèmes généraux sur les pyramides, cas d'égalité
II. Surface et volume de la pyramide, pyramide triangulaire, pyramide à  base quelconque ; volume d'un polyèdre quelconque
III. Surface et volume du cône, cônes circulaires droits semblables
IV. Développement d'un cylindre ou d'un cône circulaire droit
CHAPITRE III. — Les Corps tronqués.
Surface d'un tronc de pyramide régulier ; volume d'un tronc de pyramide quelconque à  bases parallèles
Expressions diverses de la surface convexe d'un tronc de cône circulaire droit à  bases parallèles
Expression de son volume, cubage des arbres non équarris, jaugeage des tonneaux
Volume du tronc de prisme triangulaire
Volume du parallélipipède tronqué
Application des formules précédentes
CHAPITRE IV. — Des Polyèdres symétriques.
Symétrie par rapport à  un point,par rapport à  une droite,par rapport à  un plan ; deux figures symétriques par rapport à  un axe peuvent coïncider ; la symétrie par rapport à  un point peut se ramener à  la symétrie par rapport à  un plan
Symétrie par rapport à  un plan
Propriétés des polyèdres symétriques
CHAPITRE V. — Des Polyèdres semblables.
Tétraèdres et polyèdres semblables,centres de similitude ; rapport des volumes de deux polyèdres semblables,échelle de réduction
Applications
CHAPITRE VI. — La Sphère.
I. Théorèmes généraux sur la sphère,sections planes,pôles et distances polaires d'un cercle de la sphère ; trouver par une construction plane le rayon d'une sphère donnée,problèmes graphiques ; plan tangent à  la sphère; positions mutuelles de deux sphères,intersection de deux sphères ; quatre points non situés dans un même plan déterminent une sphère; angle de deux arcs de grand cercle
II. Du triangle sphérique,rapprochement entre les polygones sphériques et les angles polyèdres,entre les triangles sphériques et les angles trièdres. — Plus courte distance de deux points sur la surface de la sphère. — Triangles polaires ou supplémentaires. — Théorèmes sur les triangles sphériques. — Triangle sphérique tri-rectangle
III. Mesure de la surface sphérique, surface engendrée par une ligne brisée régulière en tournant autour d'un diamètre qui ne la traverse pas,surface de la zone, surface de la sphère
Mesure du fuseau,aire du triangle et du polygone sphérique
IV. Mesure du volume de la sphère,volume engendré par un triangle tournant autour d'un axe situé dans son plan et passant par l'un de ses sommets sans traverser sa surface,cas où le triangle est isocèle; volume engendré par un secteur polygonal régulier tournant autour d'un diamètre extérieur à  sa surface,volume d'un secteur sphérique,volume de la sphère
Mesure de l'onglet sphérique,volumed'une pyramide sphérique triangulaire ou polygonale
Volume engendré par un segment circulaire tournant autour d'un diamètre extérieur à  sa surface ; volume d'un segment sphérique,expression du volume d'un segment sphérique à  une base en fonction du rayon de la sphère et de la hauteur du segment
Propriété des polyèdres circonscrits à  des sphères égales
Applications
Questions proposées
COMPLÉMENT DE GÉOMÉTRIE.
CHAPITRE PREMIER. — Principes généraux relatifs à  la résolution des Problèmes.
Analyse et synthèse
Méthode des substitutions
Méthode par symétrie.
Méthode des figures semblables.
Méthode par inversion
Méthode des relations auxiliaires
Méthode par projection
Réduction à  l'absurde,méthode des limites
Méthode des lieux géométriques
Emploi de l'algèbre
CHAPITRE II. — Théorie des Transversales et des Polaires.
Transversales dans le triangle
Applications
Division harmonique des lignes droites
Applications
Pôle et polaire dans le cercle
Application
CHAPITRE III. — Exercices et Questions diverses (géométrie plane).
Problèmes divers
Maximums et minimums
Lieux géométriques
Axe radical et centre radical
Application
Centres de similitude
Problèmes sur les contacts
Des polygones étoiles
Figures équivalentes
CHAPITRE IV. — Exercices et Questions diverses (géométrie dans l'espace).
Problèmes divers
Questions sur les angles trièdres et les tétraèdres
Questions sur la sphère
Des polyèdres réguliers
Théorème de Descartes
Théorème d'Euler
Construction des cinq polyèdres réguliers
TRIGONOMÉTRIE.
LIVRE PREMIER. théorie des rapports trigonométriques
CHAPITRE PREMIER. — Définitions.
Notions préliminaires. — But de la trigonométrie,rapports trigonométriques,justification des dénominations employées
Variations du sinus,formules correspondantes
Variations du cosinus,formules correspondantes
Variations de la tangente,formules correspondantes
Remarques relatives à  la cosécante,à  la sécante et à  la cotangente
Relations entre les rapports trigonométriques de deux arcs qui diffèrent de 90°
Relations entre les rapports trigonométriques d'un même arc
Expressions en fonction de la tangente des cinq autres rapports trigonométriques
CHAPITRE II. — Formules trigonométriques.
Théorie des projections
Théorème fondamental
Projection d'une aire plane sur un plan
Rapports trigonométriques de la somme ou de la différence de deux arcs
Multiplication et division des arcs
Formules rendues calculables par logarithmes
Expression trigonométrique des racines de l'équation générale du second degré
Détermination directe des sinus et des cosinus des arcs multiples de 9° renfermés dans le premier quadrant
CHAPITRE III — Construction et Usage des Tables trigonométriques.
Notions préliminaires,réduction d'un arc au premier quadrant,théorèmes auxiliaires
Calcul du sinus et du cosinus de l'arc de 10 formules de Th. Simpson
Disposition et usage des tables trigonométriques,tables de Callet et de de Lalande
Étant donné un arc,trouver les logarithmes de ses rapports trigonométriques
Étant donné le logarithme d'un rapport trigonométrique,trouver l'arc moindre que 90° auquel il appartient
Remarques sur l'approximation obtenue dans l'un ou l'autre cas
Calcul des rapports trigonométriques des petits arcs,question inverse,tables de M. Hoüel
Applications
Questions proposées
LIVRE DEUXIàˆME. trigonométrie rectiligne.
CHAPITRE PREMIER. — Formules fondamentales.
Formules applicables anx triangles rectangles
Formules applicables aux triangles quelconques
Remarque
CHAPITRE II. — Résolution des Triangles rectangles.
Premier cas
Second cas,remarque importante
Troisième cas
Quatrième cas
Triangle rectangle d'épreuve
CHAPITRE III. — Résolution des Triangles obliquangles.
Premier cas
Second cas,procédés différents à  suivre selon que les éléments connus sont donnés directement ou par leurs logarithmes
Introduction d'un angle auxiliaire pour rendre les formules calculables par logarithmes
Troisième cas,formules à  employer
Quatrième cas ou cas douteux
Expressions trigonométriques de l'aire d'un triangle
Triangle obliquangle d'épreuve
CHAPITRE IV. — Exercices et Applications.
Exercices
Problèmes de trigonométrie pratique : déterminer la hauteur d'un édifice
Distance d'un point donné à  un point inaccessible
Distance de deux points inaccessibles
Prolonger un alignement au delà  d'un obstacle qui arrête la vue
Rapporter un point sur une carte
Questions proposées
LIVRE TROISIàˆME. TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE (1).
CHAPITRE PREMIER. — Formules fondamentales.
Rappel de théorèmes connus.
Formules renfermant les trois côtés et un angle
Formules renfermant les trois angles et un côté
Formules renfermant deux côtés et les deux angles opposés
Formules renfermant deux côtés,l'angle qu'ils comprennent et l'angle opposé à  l'un d'eux
Formules convenant à  la résolution des triangles rectangles, moyen simple de les retrouver
Remarques essentielles sur ces formules.
CHAPITRE II. — Résolution des Triangles sphériques rectangles.
Premier cas
Détermination des éléments inconnus par leurs tangentes
Second cas
Troisième cas
Quatrième cas, détermination des éléments inconnus par leurs tangentes
Discussion
Cinquième cas
Sixième cas, détermination des éléments inconnus par leurs tangentes
Triangle sphérique, rectangle d'épreuve
CHAPITRÉ III. — Résolution des Triangles sphériques obliquangles.
Remarques préliminaires
Premier et deuxième cas
Troisième et quatrième cas,formules de Delambre et de Neper
Détermination isolée du troisième côté ou du troisième angle
Cinquième et sixième cas ou cas douteux,discussion
Autre méthode de résolution pour les cas douteux, emploi d'angles auxiliaires
Triangle sphérique obliquangle d'épreuve
Expressions de l'aire d'un triangle sphérique
Expression des côtés en mètres, lorsqu'ils sont donnés ou obtenus en degrés
CHAPITRE IV.-Applications.
Volume d'un parallélipipède oblique
Réduction d'un angle à  l'horizon
Distance de deux points de la surface terrestre en fonction de leurs longitudes et de leurs latitudes
Questions proposées
COMPLÉMENT D'ALGàˆBRE (2)
LIVRE PREMIER. EXTENSION DU CALCUL ALGÉBRIQUE.
CHAPITRE PREMIER. — Propositions sur les nombres.
Des diviseurs des nombres
Théorème de Fermat
Théorème de Wilson
Caractères de divisibilité
CHAPITRE II —Plus grand commun diviseur algébrique.
Théorème fondamental sur les quantités premières algébriquement
Marche à  suivre pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers et rationnels
Recherche pratique du plus grand commun diviseur : lorsque les polynômes proposés ne contiennent qu'une seule lettre; lorsqu'ils en contiennent plusieurs
CHAPITRE III. — Théorie des fractions continues.
Définitions
Conversion d'un nombre commensurable en fraction continue
Loi de formation des réduites
Propriétés des réduites
Applications
Recherche de fractions exprimant le nombre pi aussi simplement que possible eu égard au degré d'approximation obtenu
CHAPITRE IV. — Analyse indéterminée du premier degré.
Résolution de l'équation ax + by=c en nombres entiers
Procédés pour déterminer une solution entière
Résolution de l'équation ax-\-by=c en nombres entiers et positifs
Application
Résolution en nombres entiers de m équations contenant m-\-i inconnues
Application
Résolution en nombres entiers d'une équation contenant plus de deux inconnues
CHAPITRE V. — Applications de la formule du binome.
Puissances des polynômes
Racines des polynômes
Triangle arithmétique de Pascal,applications
Sommation des piles de boulets
Sommation des puissances semblables des termes d'une progression par différence
CHAPITRE VI. — Des expressions imaginaires.
Addition, soustraction, multiplication, division
Développement de \a-\-b yj — 1)'"remarques
Du module
Pour qu'un produit de facteurs imaginaires soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs soit nul
Changement d'ordre des facteurs imaginaires, application
Des racines imaginaires de l'unité
Transformation trigonométrique des expressions imaginaires
Formule de Moivre
Applications trigonométriques de la formule de Moivre : sinus et cosinus d'un multiple quelconque d'un arc en fonction du sinus et du cosinus de l'arc simple ; tangente d'un multiple quelconque d'un arc en fonction de la tangente de l'arc simple; sinus et cosinus d'un arc en fonction des puissances croissantes de cet arc
Questions proposées
LIVRE DEUXIàˆME. SÉRIES ET FONCTIONS DÉRIVÉES.
CHAPITRE PREMIER. — Notions sur les Séries.
Définitions, caractères de convergence
Séries dont les termes sont positifs, théorèmes relatifs à  la convergence
Exemples
Séries dont les termes peuvent avoir des signes quelconques
Définition du nombre e
Limite de ( 1 H— J quand m croit indéfiniment
Note sur la base du système des logarithmes népériens
CHAPITRE II. — Des Fonctions dérivées.
Définitions
Classement des fonctions
Dérivées des fonctions simples
Somme, différence, produit, rapport
Puissance et racine
Fonction exponentielle
Fonction logarithmique
Fonction circulaire directe
Fonction circulaire inverse
Dérivées des fonctions de fonctions
Dérivées des fonctions inverses
Dérivée d'une somme
Dérivée d'un produit
Dérivée d'un quotient
Théorème général relatif aux fonctions composées
Dérivées des fonctions implicites
Tableau des dérivées fondamentales
CHAPITRE III. — Étude des Variations des Fonctions maximums et minimums. Le signe de la dérivée indique si la fonction croît ou décroît
Caractères d'un maximum, caractères d'un minimum, exemples
Vraie valeur des expressions qui se présentent sous forme indéterminée
CHAPITRE IV. — Retour a la Fonction primitive, applications.
Deux fonctions qui ont des dérivées égales ne peuvent différer que par une constante
Fonction primitive, constante arbitraire
Tableau inverse de celui des dérivées fondamentales
Retour à  la fonction primitive dans quelques cas simples
Séries qui servent au calcul des logarithmes
Calcul des logarithmes népériens
Calcul du module/calcul des logarithmes vulgaires
Séries qui conduisent au calcul de pi
Calcul du rapport de la circonférence au diamètre
Questions proposées
LIVRE TROISIàˆME. THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS.
CHAPITRE PREMIER. — Généralités relatives aux variations d'une fonction entière — composition des équations algébriques.
Définitions,théorèmes généraux
Théorème fondamental sur la composition des équations
Méthode pour essayer si un nombre a est racine
Racines imaginaires conjuguées
Relations qui lient les coefficients et les racines d'une équation algébrique, application
CHAPITRE II. — Transformation des Équations
Limites des Racines.
Transformation des équations
Augmenter ou diminuer les racines d'une équation d'une même quantité
Faire disparaître un terme quelconque d'une équation
Limites des racines
Limite de Newton
CHAPITRE III. — Théorème de Descartes.
Démonstration du théorème de Descartes
Application de ce théorème
Cas où les racines de l'équation considérée sont toutes réelles
CHAPITRE IV. — Recherche des Racines commensurables.
Cas des racines entières
Moyen de diminuer les essais, disposition du calcul; exemples
Cas des racines fractionnaires
Exemple
CHAPITRE V. — Recherche des Racines communes a deux équations.
Théorie des Racines égales.
Recherche des racines communes à  deux équations
Exemple
Théorie des racines égales
Décomposition d'une équation qui admet des racines égales en équations de degré moindre n'admettant plus que des racines inégales
Application
On ne doit appliquer la théorie des racines égales qu'au delà  du cinquième degré
CHAPITRE VI. — Théorème de Rolle. — Résolution de l'équation du troisième degré.
Théorème de Rolle
Caractères auxquels on reconnaît la nature des racines de l'équation du troisième degré
Résolution algébrique de l'équation du troisième degré
Résolution trigonométrique du cas irréductible ; applications
Résolution numérique de l'équation du troisième degré lorsqu'elle n'a qu'une seule racine réelle; application
CHAPITRE VII. — Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
Cas des racines inégales
Considération des racines imaginaires inégales
Exemples
Cas des racines égales
Considération des racines imaginaires multiples
Exemples
Retour aux fonctions primitives, exemples
Questions proposées
LIVRE QUATRIàˆME. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS.
CHAPITRE PREMIER. —Notions sur la Théorie des Différences.
Définitions, tableau des différences
Formules symboliques
Différences des fonctions entières
Expression de la différence constante d'ordre m d'une fonction entière du degré m
Applications.
CHAPITRE II. — De l'Interpolation.
Définitions
Formule d'interpolation de Lagrange
Formule d'interpolation de Newton
Applications
Expression d'une limite supérieure des racines positives d'une équation déduite de la considération des différences
CHAPITRE III. — Résolution des Équations numériques.
Méthode des différences, séparation des racines
Application aux équations du troisième degré
Exemples
Equations de degré supérieur
Manière rapide de déduire des premières différences obtenues celles qui correspondent à  une raison dix fois plus petite
Exemple, emploi de l'équation dérivée
Application de la méthode des différences aux équations transcendantes
Exemples
Méthode d'approximation de Newton
Exemples.
Interprétation géométrique de la Méthode de Newton
Rapprochement entre cette méthode et la règle des parties proportionnelles
CHAPITRE IV. — Méthode des Approximations successives.
Exposé de la méthode
Application aux équations du second degré
Équations de degré supérieur
Équations transcendantes
Questions proposées
NOTES.
NOTE I. — Expression du côté du pentédécagone régulier
NOTE II. — Trisection de l'angle
NOTE III. — Des équations réciproques
NOTE IV. — Emploi de la règle à  calcul en Géométrie et en Trigonométrie
Table des arcs et de leurs rapports trigonométriques. exprimés en parties décimales du rayon ip.
(1) La Trigonométrie sphérique n'est pas exigée des Candidats à  l'École Centrale
(2) Cette section n'est pas exigée des Candidats à  l'École Centrale ; mais ils trouveront dans le second et le quatrième Livre une partie des matières qui leur sont enseignées à  l'École dans le Cours d'Analyse de première année.
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