Sommaire Article Précédent

Cours de mathématiques à  l'usage des candidats à  l'Ecole Centrale des Arts et manufactures, et de tous les élèves qui se destinent aux écoles du gouvernement. Tome 3.

Charles de Comberousse, 1861, 639 pages
vignettage 240 vignettage 241 vignettage 242 vignettage 243 vignettage 244 vignettage 245
vignettage 246 vignettage 247 vignettage 248 vignettage 249 vignettage 250 vignettage 251
vignettage 252 vignettage 253 vignettage 254 vignettage 255 vignettage 256 vignettage 257
vignettage 258 vignettage 259 vignettage 260 vignettage 261 vignettage 262 vignettage 263
vignettage 264 vignettage 265 vignettage 266 vignettage 267 vignettage 268 vignettage 269
vignettage 270 vignettage 271 vignettage 272 vignettage 273 vignettage 274 vignettage 275
vignettage 276 vignettage 277 vignettage 278 vignettage 279 vignettage 280 vignettage 281

Table des matières

PREMIERE PAGE NUMERISEE - Ex Libris de Jean Mathey, professeur de Mathématiques (Premières années, époque Fortier)
[TABLES DES MATIàˆRES.]
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE (1)
GÉOMÉTRIE PLANE.
LIVRE PREMIER. NOTIONS FONDAMENTALES.
CHAPITRE PREMIER. - Caractères généraux de la Géométrie analytique
Position d'un point, système de coordonnées rectiligne,
Système de coordonnées polaire
Il y a une infinité de systèmes de coordonnées
Équation d'une ligne
Lieu géométrique d'une équation
Construction des équations
Système de coordonnées naturel
CHAPITRE II. - Théorie de l'homogénéité et Construction des expressions algébriques.
De l'homogénéité : Démonstration de la loi de l'homogénéité, remarques à  ce sujet
Fonction homogène, degré d'une expression fractionnaire ou d'un radical
Cas où l'une des grandeurs qui entrent dans la question a été prise pour unité.
Construction des expressions algébriques : Ce qu'on entend par construire une formule
Construction des formules rationnelles du premier degré
Construction des formules irrationnelles du second degré
applications : Construction des racines d'une équation du second degré
Construction des racines d'une équation bicarrée
Problème de Pappus
CHAPITRE III. - Théorie de la Transformation des coordonnées.
Points de vue sous lesquels on doit considérer cette transformation
Déplacement de l'origine
Changement de direction des axes
Cas particuliers
Formules générales
Transformation relative aux coordonnées polaires
CHAPITRE IV. - Théorie de la Ligne droite.
Distance de deux points
Coordonnées du point milieu d'une droite finie
Equation de la ligne droite
Toute équation du premier degré à  deux variables représente une droite
Degré d'une ligne
Interprétation des coefficients de l'équation de la droite
Construction d'une pareille équation
Formes particulières de l'équation de la droite
Équation de la ligne droite en coordonnées polaires
Questions relatives à  la ligne droite : Équation générale des droites qui passent par un point donné
Équation de la droite déterminée par deux points donnés
Point d'intersection de deux droites données
Condition pour que trois droites soient concourantes
Équation générale des droites qui passent par le point de concours de deux droites données
Remarques à  ce sujet
Angle de deux droites
Remarques à  ce sujet
Équation et longueur de la perpendiculaire abaissée d'un point donné sur une droite donnée
Remarques à  ce sujet
Équation de la bissectrice de l'angle de deux droites
Exercices
Remarque sur la recherche des lieux géométriques par l'analyse
CHAPITRE V. - Théorie de la Circonférence de Cercle.
Équation de la circonférence en coordonnées rectangulaires; conditions pour qu'une équation représente une circonférence en coordonnées rectangulaires
Équation de la circonférence en coordonnées obliques; conditions pour qu'une équation représente une circonférence en coordonnées obliques
Construction d'une pareille équation
Équation polaire de la circonférence
Questions relatives à  la circonférence : Propriétés élémenlaires vérifiées par l'analyse
Tangente
Normale
Sécantes ayant un point commun
Exercices
CHAPITRE VI. - Exemples choisis.
Ellipse
Hyperbole
Parabole
Lieu des points dont les distances à  un point fixe et à  une droite fixe sont constamment proportionnelles
Cissoïde
Cycloïde
Spirale d'archimède
Questions proposées
LIVRE DEUXIàˆME (2). THÉORIES GÉNÉRALES DE GÉOMÉTRIE PLANE.
CHAPITRE PREMIER. - Théorie des Tangentes.
Equation générale de la tangente a une courbe y = f(x) ou F (x, y) = 0,75
Tangente à  l'origine
Équation de la normale
Tangente passant par un point extérieur ou parallèle à  une direction donnée
Équation générale des tangentes à  une courbe donnée
Tangente commune à  deux courbes données
Concavité et convexité des courbes
Points maximums et minimums
Points singuliers : Points d'inflexion, points multiples, points de rebroussement, points isolés, points d'arrêt, points saillants
CHAPITRE II. - Théorie des Asymptotes.
Définition
Première méthode de détermination
Seconde méthode
Troisième méthode
Recherche des asymptotes parallèles aux axes coordonnés
Remarques à  ce sujet
CHAPITRE III. - Théorie des Centres.
Définition
Lorsqu'une courbe a plus d'un centre, elle en a une infinité
Condition pour qu'une équation algébrique irréductible représente une courbe à  centre
Méthode pour déterminer le centre d'une courbe algébrique
Cas d'une courbe transcendante
CHAPITRE IV. - Théorie des Diamètres.
Définition
Méthode générale de détermination
Axes d'une courbe
Recherche spéciale des diamètres rectilignes
Cas où une courbe a pour axe l'une des bissectrices des angles des axes coordonnés
CHAPITRE V. - Exemples de discussion générale d'équations à  deux vairables dans le cas des coordonnées rectilignes.
Lieu des points dont le produit des distances à  deux points fixes demeure constant
Conchoïde
Folium de Descartes
Sinusoïde
Tangentoïde
Discussion de la courbe y= ex
Questions proposées
LIVRE TROISIàˆME. ÉTUDE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ.
CHAPITRE PREMIER. - Discussion de l'Équation générale du second degré à  deux variables.
Résolution de l'équation et séparation des différents cas
Genre ellipse
Genre hyperbole
Genre parabole
Résumé
Du centre, des diamètres et des axes dans les courbes du second degré : du centre
Du centre, des diamètres et des axes dans les courbes du second degrés : des diamètres
Tangente à  l'extrémité d'un diamètre
Diamètres conjugués
Des axes
Résumé
Des asymptotes dans les courbes du second degré
Cas particuliers de l'équation du second degré ; Cas où il manque l'un des carrés des variables
Cas où l'on a à  la fois A = 0 et B = 0
CHAPITRE II. - Transformation des Coordonnées appliquée aux courbes du second degré.
Réduction de l'équation dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole
Réduction de l'équation dans le cas de la parabole
CHAPITRE III. - Théorie générale des Foyers et des Directrices.
Définitions
Équation focale des courbes du second ordre
Foyers et directrices dans l'ellipse
Foyers et directrices dans l'hyperbole
Foyer et directrice dans la parabole
CHAPITRE IV. - Propriétés de l'Ellipse.
Rappel des notions précédentes
Construction de la courbe
Tangente et normale
La normale en un point de l'ellipse est la bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs de ce point
Conséquences
Tangente passant par un point extérieur
Tangente parallèle à  une direction donnée
Diamètres, cordes supplémentaires, diamètres conjugués : Équation des diamètres
Diamètres conjugués
Cordes supplémentaires
Variation de l'angle de deux diamètres conjugués
Diamètres conjugués égaux
Théorèmes d'Apollonius
Ellipse rapportée à  un système de diamètres conjugués
Quadrature des aires planes
Application à  l'ellipse
De l'ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle, conséquences
Questions diverses
Étant donnés un système de diamètres conjugués et leur angle, trouver les axes de l'ellipse
Étant donné un arc d'ellipse, retrouver les éléments de la courbe
CHAPITRE V. - Propriétés de l'Hyperbole.
Rappel des notions précédentes
Hyperboles conjuguées
Construction de la courbe
Tangente et normale
La tangente en un point de la courbe est la bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs de ce point.
Conséquences
Tangente passant par un point extérieur
Tangente parallèle à  une direction donnée
Diamètres, cordes supplémentaires, diamètres conjugués : Équation des diamètres
Diamètres conjugués
Cordes supplémentaires
Variation de l'angle de deux diamètres conjugués
Hyperbole rapportée à  un système de diamètres conjugués
Remarques au sujet de l'équation obtenue
Théorèmes d'Apollonius
Asymptotes
Equation de l'hyperbole rapportée à  ses asymptotes, conséquences
Construction de la tangente en un point de la courbe
Propriétés segmentaires de l'hyperbole et de ses asymptotes
Quadrature de l'hyperbole
Questions diverses
Étant donné un arc d'hyperbole, retrouver les éléments de la courbe
CHAPITRE VI. - Propriétés de la Parabole.
Rappel des notions précédentes
Parabole considérée comme limite d'une ellipse dont l'un des foyers et le sommet correspondant restent fixes, tandis que le grand axe croît indéfiniment
Equation y2 = ipx -\- qx* réunissant les trois courbes du second degré
Construction de la parabole
Tangente et normale
Propriétés de la sous-tangente et la sousnormale
Construction de la tangente en un point de la courbe, conséquences
Tangente passant par un point extérieur
Tangente parallèle à  une direction donnée
Diamètres
Equation de la parabole rapportée h un diamètre et à  la tangente qui lui correspond
Aire d'un segment parabolique
Questions diverses
Étant donné un arc de parabole, retrouver les éléments de la courbe
CHAPITRE VII. - Des Sections coniques et cylindriques.
Des sections planes d'une surface conique de révolution
Des sections planes d'une surface cylindrique de révolution
Des sections planes faites dans un cône circulaire oblique, perpendiculairement à  son plan principal
Section anti-parallèle du cône oblique
Des sections planes faites dans un cylindre circulaire oblique, perpendiculairement à  son plan principal.
CHAPITRE VIII. - Propriétés générales relatives aux Courbes DU SECOND DEGRÉ.
Pôle et polaire dans les courbes du second degré
Construction de la tangente
Théorème de Pascal
Théorème de Brianchon.
Du nombre de conditions nécessaires pour déterminer une courbe quelconque
Application aux courbes du second degré
Équation d'une conique passant par cinq points donnés
Construction d'une pareille conique
Exprimer qu'un point est centre, sommet ou foyer d'une conique
Exprimer qu'une droite est tangente à  une conique, qu'elle en est un diamètre, un axe, une directrice ou une asymptote
Lieux décrits par les points remarquables d'une conique qui n'est pas complètement déterminée, exemples
Équation générale des coniques passant par quatre points donnés
Intersection de deux courbes du second degré
Construction des racines réelles des équations à  une inconnue
Application aux équations du quatrième et du troisième degré
Application aux équations transcendantes
CHAPITRE IX. - Des Courbes semblables.
Définitions
Toutes les courbes de même espèce dont l'équation la plus simple ne contient qu'un seul paramètre, sont des courbes semblables.
Equation générale des courbes homothétiques à  une courbe donnée
Equation la plus générale des courbes semblables à  une courbe donnée.
Similitude des courbes du second degré
Condition générale de similitude
Cas où les deux coniques considérées sont à  la fois semblables et semblablement placées.
CHAPITRE X. - Des Coordonnées polaires.
Variations des coordonnées p et w
Passage des coordonnées rectilignes aux coordonnées polaires: application à  la ligne droite
Application à  la circonférence
Condition pour que trois points soient sur une même circonférence passant par le pôle
Equations polaires des sections coniques
Des tangentes
Équation générale
Application à  la parabole
Points maximums et minimums
Angle de la tangente avec le prolongement du rayon vecteur
Sous-tangente et sous-normale
Tangentes au pôle
Applications
Des asymptotes, équation générale
Application aux sections coniques
Remarque pratique
Discussion d'une courbe
Application des coordonnées polaires à  la démonstration de quelques théorèmes
Questions proposées
GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
LIVRE QUATRIàˆME. NOTIONS FONDAMENTALES DE GÉOMÉTRIE A TROIS DIMENSIONS.
CHAPITRE PREMIER. - Préliminaires.
Représentation du point
Représentation des surfaces
Représentation des lignes
Relation des trois cosinus
Angle de deux droites
CHAPITRE II. - Transformation des Coordonnées.
Déplacement de l'origine, changement de direction des axes
Formules d'Euler
Sections planes d'une surface
Passage du système rectiligne au système polaire
Distance de deux points
Point milieu d'une droite
CHAPITRE III. - De la Ligne droite.
Équations de la ligne droite
Équations générales des droites passant par un point donné
Équations d'une droite passant par un point donné
Angles d'une droite avec trois axes coordonnés rectangulaires
Angle de deux droites données par leurs équations
Point d'intersection de deux droites données
Condition pour que deux droites soient dans un même plan
Distance d'une droite à  l'origine des coordonnées, en coordonnées rectangulaires
Distance d'un point donné à  une droite donnée
CHAPITRE IV. - Du Plan.
Equation du plan
Toute équation du premier degré à  trois variables représente un plan
Équation générale des plans passantpar un point donné.
Condition de parallélisme de deux plans
Équation du plan qui passe par trois points donnés
Distance de l'origine à  un plan, angles de la normale au plan avec les trois axes supposés rectangulaires
Angle de deux plans
Condition de perpendicularité de deux plans
Distance d'un point à  un plan
Intersection de deux plans
CHAPITRE V. - Du Plan et de la Ligne droite.
Equation du plan passant par un point et une droite donnés
Intersection d'une droite et d'un plan ; conditions pour qu'une droite soit parallèle à  un plan ou pour qu'elle soit située dans ce plan
Équation du plan mené par une droite donnée parallèlement à  une droite donnée
Droite et plan perpendiculaires
Angle d'une droite et d'un plan
Plus courte distance de deux droites non situées dans un même plan
Questions proposées
LIVRE CINQUIàˆME. GÉNÉRALITÉS SUR LES SURFACES.
CHAPITRE PREMIER. - Des différentes classes de Surfaces.
Notions préliminaires
Des surfaces cylindriques, équation générale
Reconnaître si une équation donnée représente une surface cylindrique
Des surfaces coniques, équation générale
Reconnaître si une équation donnée représente une surface conique
Toute équation homogène à  trois variables représente une surface conique
Cas où la directrice de la surface est sa trace sur l'un des plans coordonnés
Des surfaces conoïdes, équation générale dans le cas le plus simple
Cas où la seconde directrice de la surface est sa trace sur un plan parallèle à  l'un des deux plans coordonnés joints au plan directeur
Des surfaces de révolution, équation générale
Cas où l'axe de la surface se confond avec l'un des axes coordonnés
Cas où la surface a, en outre, pour directrice sa trace sur l'un des plans coordonnés.-Exemples.
CHAPITRE II. - Du Plan tangent.
Équations de la tangente à  une courbe
Equation générale du plan tangent en un point d'une surface
Normale
Contour apparent d'une surface sur un plan
Surface circonscrite à  une autre surface
CHAPITRE III. - Aperçu de quelques Théories générales.
Du centre
Méthode générale
Des surfaces diamétrales, méthode générale
Nombre de conditions nécessaires pour déterminer une surface ou une courbe dans l'espace
Exprimer qu'un plan est tangent à  une surface
Condition pour que deux surfaces du second ordre soient semblables et semblablement placées
Questions proposées.
LIVRE SIXIàˆME. ÉTUDE DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ.
CHAPITRE PREMIER. - Du Centre et des Surfaces diamétrales dans les Surfaces du second degré.
Du centre
Équation du centre
Des surfaces diamétrales, équation générale
Dans les surfaces dénuées de centre, les plans diamétraux sont parallèles à  une même droite
Des plans principaux
Toute surface du second degré admet au moins un plan principal, équation caractéristique en s
Deux racines inégales de l'équation en s correspondent à  des directions principales perpendiculaires entre elles
CHAPITRE II. - Réduction et discussion de l'Équation générale du second degré a trois variables.
Première simplification
Remarque à  ce sujet
Equations les plus simples des surfaces à  centre et des surfaces dénuées de centre
Ces équations conservent la même forme pour une infinité d'axes obliques.
Surfaces à  centre: ellipsoïde
Hyperboloïde à  une nappe
Hyperboloïde à  deux nappes
Cylindres elliptique et hyperbolique
Cônes du second degré
Surfaces dénuées de centre : Paraboloïde elliptique
Paraboloïde hyperbolique
Cylindre parabolique
Résumé
CHAPITRE III. - De quelques Propriétés générales des Surfaces du second degré.
Des diamètres dans les surfaces du second degré
Dans les surfaces à  centre, le plan tangent à  l'extrémité d'un diamètre est parallèle au plan diamétral conjugué à  ce diamètre
Dans les surfaces dénuées de centre, le plan tangent à  l'extrémité d'un diamètre est parallèle à  toutes les cordes conjuguées aux différents plans diamétraux qui passent par ce diamètre
Conditions pour qu'une surface du second degré soit de révolution
Intersection de deux surfaces du second degré : deux surfaces semblables du second degré se coupent suivant une courbe plane
Lorsque la courbe d'entrée de deux surfaces du second ordre l'une dans l'autre est plane, la courbe de sortie l'est aussi
Lorsque deux surfaces du second ordre ont un plan principal commun, la projection de leur intersection sur ce plan principal est une courbe du second degré.
CHAPITRE IV. -Propriétés de l'Ellipsoïde.
Sections planes de l'ellipsoïde
Recherche des sections circulaires
Plan tangent
Équation de l'ellipsoïde rapporté à  un système de diamètres conjugués
Somme des carrés de trois diamètres conjugués, volume du parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués.
CHAPITRE V. - Propriétés des deux Hyperboloïdes.
Hyperboloïde à  une nappe : Sections planes de la surface
Sections circulaires
Plan tangent
Relations qui lient les diamètres conjugués et les axes
Cône asymptote
Double système de génératrices rectilignes, leurs propriétés
Sections rectilignes
Les projections des génératrices rectilignes sur les plans principaux sont tangentes aux sections de la surface par ces plans
Rapprochement entre les génératrices rectilignes de la surface et celles du cône asymptote
Génération de l'hyperboloïde à  une nappe par le mouvement d'une droite qui s'appuie constamment sur trois droites fixes non parallèles à  un même plan et situées deux à  deux dans des plans différents
Hyperboloïde à  deux nappes : Sections planes de la surface
Sections circulaires
Plan tangent.- Diamètres conjugués
Cône asymptote
Hyperboloïdes conjugués
CHAPITRE VI. - Propriétés des deux Paraboloïdes.
Paraboloïde elliptique : Sections planes de la surface
Sections circulaires
Plan tangent
Equation de la surface rapportée à  un diamètre et au plan tangent correspondant
Paraboloïde hyperbolique : Sections planes
Plan tangent
Équation de la surface rapportée à  un diamètre et au plan tangent correspondant
Double système de génératrices rectilignes leurs propriétés
Sections rectilignes
Les projections des génératrices rectilignes sur les plans principaux sont tangentes aux sections de la surface par ces plans
Génération du paraboloïde hyperbolique par le mouvement d'une droite glissant sur trois droites fixes parallèles à  un même plan et situées deux à  deux dans des plans différents
Autre génération par le mouvement d'une droite qui glisse, parallèlement à  un plan donné, sur deux droites données situées dans des plans différents
Remarque sur ce second mode de génération
CHAPITRE VII. - Discussion des Équations numériques du second degré à  trois variables.
Surfaces à  centre unique
Exemples
Détermination des génératrices rectilignes, dans le cas de l'hyperboloïde à  une nappe.
Surfaces ayant une infinité de centres
Exemples
Surfaces dénuées de centre
Exemples
Détermination des génératrices rectilignes, dans le cas du paraboloïde hyperbolique
Questions proposées
GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE (3).
LIVRE PREMIER. NOTIONS FONDAMENTALES.
CHAPITRE PREMIER. - Représentation du Point, de la droite; et du plan.
Préliminaires
Représentation du point
Représentation de la ligne droite
Détermination des traces d'une droite
Tracé des épures
Droites parallèles
Représentation du plan
Droites d'un plan parallèles à  l'un des plans de projection
Lignes de plus grande pente d'un plan, par rapport à  l'un des plans de projection
Plans parallèles, mener par un point donné un plan parallèle à  un plan donné
Droite et plan perpendiculaires, mener par un point donné une droite ou un plan perpendiculaire à  un plan ou à  une droite donnée.
CHAPITRE II. - Des Méthodes.
Changement des plans de projection : Changement des plans de projection par rapport à  un point
Changement des plans de projection par rapport à  une droite
Changement des plans de projection par rapport à  un plan
Conséquences.
Mouvements de rotation: Mouvement de rotation par rapport à  un point
Mouvement de rotation par rapport à  une droite
Mouvement de rotation par rapport à  un plan
Conséquences
Rabattements: Méthode générale
Exemple
CHAPITRE III.- Des Intersections.
Intersection des plans : Intersection de deux plans dont les traces se coupent dans les limites de l'épure
Intersection de deux plans dont les traces horizontales sont parallèles
Intersection de deux plans parallèles à  la ligne de terre
Intersection de deux plans dont les traces se croisent au même point de la ligne de terre
Intersection de deux plans dont les traces sont respectivement en ligne droite
Intersection de deux plans dont les traces ne se rencontrent pas dans les limites de l'épure
Intersection de deux plans dont l'un est déterminé par ses traces et l'autre par la ligne de terre et un point.
Intersection des droites et des plans: Intersection d'une droite et d'un plan quelconque
Cas où la droite est perpendiculaire ou parallèle aux plans de projection
Cas où elle est située dans un plan perpendiculaire à  la ligne de terre
Par un point donné, mener une droite qui s'appuie sur deux droites données non situées dans un même plan
CHAPITRE IV. - Mesure des Distances.
Distance de deux points
Conséquences
Longueur d'une droite entre ses traces
Distance d'un point à  un plan
Distance d'un point à  une droite, conséquences
Plus courte distance de deux droites non situées dans un même plan
CHAPITRE V. - Angles des Droites et des Plans.
Angles des droites entre elles : Angle de deux droites quelconques données par leurs projections, bissectrice de cet angle
Angle de deux droites, l'une parallèle au plan vertical, l'autre au plan horizontal
Trouver les angles d'une droite avec les plans de projection
Trouver l'angle d'une droite et d'un plan
Mener par un point donné une droite qui fasse des angles donnés avec les deux plans de projection, discussion.
Angles des plans entre eux : Angle de deux plans quelconques donnés par leurs traces, plan bissecteur de cet angle
Angle de deux plans dont les traces horizontales sont parallèles
Trouver les angles d'un plan avec les plans de projection
Mener par un point donné un plan qui fasse des angles donnés avec les deux plans de projection, discussion.
CHAPITRE VI. - Questions diverses.
Réduction d'un angle à  l'horizon
Représentation des cinq polyèdres réguliers et inclinaison de leurs faces adjacentes : Tétraèdre régulier
Octaèdre régulier
Icosaèdre régulier
Hexaèdre régulier
Dodécaèdre régulier
Circonscrire une sphère à  une pyramide triangulaire
Inscrire une sphère dans une pyramide triangulaire
Trouver les points d'intersection d'une droite et d'une sphère
CHAPITRE VII - Des Plans cotés
Définitions
Construire l'échelle de pente d'une droite donnée, conséquences
Pente d'une droite
Relation entre la pente et l'unité de l'échelle de pente
Mener par un point donné une parallèle à  une droite donnée
Echelle de pente d'un plan
Reconnaître si deux droites se coupent
Construire l'échelle de pente d'un plan donné par trois points
Intersection de deux plans donnés par leurs échelles de pente
Cas où ces échelles sont parallèles
Intersection d'une droite et d'un plan
Intersection de deux droites situées dans un même plan vertical
Mener par un point donné une perpendiculaire à  un plan donné et trouver la longueur de cette perpendiculaire, relation entre la pente du plan et celle de la droite ou entre les unités de leurs échelles de pente
Trouver la distance d'un point à  une droite
Trouver la plus courte distance de deux droites non situées dans un même plan
Trouver l'angle de deux droites
Trouver l'angle de deux plans donnés par leurs échelles de pente
Questions proposées
LIVRE DEUXIàˆME. NOTIONS RELATIVES AUX SURFACES.
CHAPITRE PREMIER. - Génération des surfaces et plan tangent.
Définitions
Plan tangent en un point d'une surface
Le plan tangent en un point, d'une surface développable, est tangent à  la surface tout le long de la génératrice de contact
Normale
La projection de la tangente à  une courbe est tangente à  la projection de cette courbe
Représentation graphique d'une surface, contours apparents sur les plans de projection
Exemples de représentation de surfaces : surface cylindrique
surface conique
surface de révolution
ellipsoïde à  trois axes inégaux
hyperboloïde à  une nappe
CHAPITRE II. - Plans tangents aux surfaces cylindriques et coniques.
Mener un plan tangent à  une surface cylindrique : par un point pris sur la surface
Mener un plan tangent à  une surface cylindrique : par un point extérieur
Mener un plan tangent à  une surface cylindrique : parallèlement à  une droite donnée.
Remarque sur les plans tangents aux surfaces développables
Mener un plan tangent à  une surface conique : par un point pris sur la surface
Mener un plan tangent à  une surface conique : par un point extérieur
Mener un plan tangent à  une surface conique : parallèlement à  une droite donnée
applications : faire passer par une droite donnée un plan faisant un angle donné avec le plan horizontal
mener à  un cylindre ou à  un cône un plan tangent faisant un angle donné avec le plan horizontal
Mener un plan tangent à  une surface cylindrique par un point extérieur, en suivant la méthode des plans cotés
CHAPITRE III. - Plans tangents aux surfaces de révolution.
Le plan tangent en un point d'une surface de révolution est perpendiculaire au méridien qui passe par le point de contact
Les normales ou les tangentes à  la courbe méridienne, menées par les différents points d'un même parallèle, coupent l'axe de la surface au même point
Mener un plan tangent à  une surface de révolution par un point pris sur la surface
Mener le plan tangent à  une surface par un point extérieur
Mener le plan tangent à  une surface parallèlement à  une droite donnée
Mener le plan tangent à  une surface par une droite donnée
Faire passer par une droite donnée un plan tangent à  une sphère donnée
Plan tangent commun à  deux surfaces
Par un point donné mener un plan tangent commun à  deux sphères données
Hyperboloïde de révolution : sa représentation, son double mode de génération, ses génératrices rectilignes parallèles
construction de la section méridienne parallèle au plan vertical
contours apparents de la surface sur les plans de projection par un point de la surface , passent toujours deux génératrices de systèmes différents
plan tangent en un point de l'hyperboloïde
cas où le point de contact se transporte à  l'infini, cône asymptote
CHAPITRE IV. - Sections planes.
Notions préliminaires, intersection de deux surfaces
Tangente en un point de cette intersection, méthodes du plan tangent et du plan normal
Sections planes du cylindre: section d'un cylindre droit par un plan perpendiculaire au plan vertical, construction de cette section en véritable grandeur, développement du cylindre et transformée de la courbe d'intersection, tangente à  cette courbe et à  sa transformée
équation de la transformée obtenue, points d'inflexion
Section d'un cylindre droit par un plan quelconque, véritable grandeur, tangente
Section droite d'un cylindre oblique, véritable grandeur, développement de la surface, transformées des deux bases, tangentes
Sections planes du cône : section d'un cône droit par un plan perpendiculaire au plan vertical
Cas de la section elliptique, véritable grandeur, développement de la surface, transformée, tangentes
Cas de la section hyperbolique, détermination des asymptotes, véritable grandeur, développement, transformée, tangentes
Cas de la section parabolique.-On peut reconnaître d'avance si la courbe d'intersection présente des branches infinies
Développement d'un cône quelconque
Sections planes des surfaces de révolution. Premier cas : sections planes du tore
Second cas : sections planes de l'hyperboloïde de révolution à  une nappe: section elliptique, détermination des sommets
section hyperbolique, détermination des asymptotes
section parabolique
Intersection d'une droite avec un cylindre ou un cône
Intersection d'un droite avec un hyperboloïde de révolution à  une nappe
CHAPITRE V. - Intersection de deux surfaces courbes.
Intersection de deux surfaces cylindriques : Plans auxiliaires, arrachement, pénétration, points sur les plans-limites, points qui correspondent aux contours apparents, tangente en un point de l'intersection, déterminations des parties visibles et invisibles
Remarques
Intersection de deux surfaces coniques: Plans auxiliaires, arrachement, pénétration, points sur les plans-limites, points qui correspondent aux contours apparents, tangente en un point de l'intersection, parties visibles et invisibles
Détermination des points maximum et minimum de la projection verticale de l'intersection, dans le cas où les bases des deux cônes sont des courbes homothétiques
Cas où l'intersection présente des branches infinies, asymptotes de ces branches infinies
Intersection d'une surface conique et d'une surface cylindrique
Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont dans un même plan. Premier cas : Intersection de deux ellipsoïdes de révolution dont les axes se coupent, sphères auxiliaires, points remarquables, détermination de la tangente par la méthode du plan normal, parties visibles et invisibles
remarques
Second cas : Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont parallèles, cône et sphère
Remarque générale sur les Intersections de surfaces
Remarque relative aux ombres et à  la perspective
Questions proposées
NOTES.
NOTE I. - Des courbes d'erreur
NOTE II. - Théorème de Dandelin : Étude géométrique des sections planes d'un cylindre ou d'un cône circulaire droit
NOTE III. - Courbe de contact d'une surface du second degré avec un cône ou un cylindre circonscrit
NOTE IV. - Sur les plans tangents aux surfaces de révolution
(1) La partie de la Géométrie analytique exigée des candidats à  l'École Centrale est renfermée dans le premier, le troisième et le quatrième Livre; il est néanmoins de l'intérêt bien entendu des élèves de voir toute la Géométrie analytique.
(2) Les matières contenues dans ce Livre ne sont pas exigées des candidats à  l'Ecole Centrale. Il faut en dire autant des matières traitées dans le cinquième et dans le sixième Livre.
(3) Cette Table n'est que le développement du Programme des connaissances exigées des candidats à  l'École Centrale, en Géométrie descriptive.
DERNIERE PAGE NUMERISEE

Sommaire Article Précédent